Sonlu halkalarda tek, çift ve tekrarlı oluşum kodları
Tezin Türü: Yüksek Lisans
Tezin Yürütüldüğü Kurum: Trakya Üniversitesi, FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ, -, Türkiye
Tezin Onay Tarihi: 2025
Tezin Dili: Türkçe
Öğrenci: NİLSU KANDEMİR
Danışman: MUSTAFA ÖZKAN
Açık Arşiv Koleksiyonu: AVESİS Açık Erişim Koleksiyonu
Özet:Günümüzde iletişim süreçlerinde temel amaç iletilmek istenen mesajın doğru, etkili ve güvenilir bir biçimde aktarılmasını sağlamaktır. Bu süreç yalnızca bilginin bir noktadan diğerine iletilmesini değil, aynı zamanda depolanan bilginin uygun bir zamanda alınmasını ve kullanılmasını da içerir. Gürültülü ve benzeri iletişim kanallarında, veri aktarımı sırasında oluşabilecek hataları azaltmak ve güvenilir bir iletim sağlamak büyük bir önem taşır. Bu aşamada bilim insanları tarafından geliştirilen kodlama teorisi devreye girer. Bu teori, iletişim hatalarında meydana gelen bozulmaları tespit etmek, düzeltmek ve verilerin doğruluğunu sağlamak gibi konularla ilgilenir. Cebirsel tanımlar ve kodlama teorisi için temel bilgiler sunulmuştur. Lineer kod tanımı yapılmış ve bu kodların minimum uzaklık (minimum ağırlık) gibi özellikleri incelenmiştir. C bir kod kümesi olmak üzere, C koduna dayalı olarak kodlama yapısının matematiksel temellerine değinilmiş ve çeşitli örnekler gösterilmiştir. Ayrıca bu bölümde Hadamard kodlar ile ilgili bilgiler verilmiştir. (F_2 [v])⁄⟨v^2 - k⟩ halkasında k = 1 olması durumunda v^2=1 koşulu ele alınmıştır. Bu durumda halkaya izomorf olan F_2+vF_2 halkası incelenmiştir. Bu halkada toplama ve çarpma işlemlerinin kapalılıkları tablo halinde sunulmuştur. Halkanın idealleri belirlenmiş ve aralarındaki ilişkiler açıklanmıştır. Ayrıca bu halkada tanımlanan kodların, Hadamard kodlar ve yarı-devirsel kodlar ile bağlantısı gösterilmiştir. F_2+vF_2 halkası üzerinde birinci ve ikinci tekrarlı oluşum kod tanımı yapılmış ve örnekler verilmiştir. Tek ve çift kod tanımları verilmiş ve örnekler sunulmuştur. k = v olması durumunda (F_2 [v])⁄⟨v^2 - k⟩ halkasında, v^2=v koşulu için F_2+vF_2 halkasında çalışılmalar yapılmıştır. Bu durumda, devirsel kodlar ve yarı-devirsel kodlar arasındaki ilişki verilmiştir. Kod parametrelerini belirleyebilmek için F_2+vF_2 halkasında ağırlık fonksiyonu (uzaklık) incelenmiş ve Lee ağırlığı tanımlanmıştır. Halka ile cisim arasında bağlantıyı veren Gray dönüşümü gösterilmiştir. Bu halka üzerinde birinci ve ikinci tekrarlı oluşum kod tanımı yapılmıştır ve örnekler verilmiştir. Ayrıca tek ve çift kod tanımı yapılmış ve örnekler gösterilmiştir. Bu kodların Gray dönüşümlerine bakılarak diğer kodlar ile ilişkisi incelenmiştir. v^3=0 koşulu ile Z_2+vZ_2+v^2 Z_2 sekiz elemanlı halka için özel matrisler temel alınarak kodlar elde edilmiş ve bu kodların parametreleri hesaplanmıştır. Bu parametreler kullanılarak birinci tekrarlı oluşum kodu ve ikinci tekrarlı oluşum kodu tanımlanmış ayrıca bu kodların Gray görüntülerinin parametreleri bulunarak örnekler gösterilmiştir.